Damit das Global Positioning System (GPS) funktioniert, umrundet eine Flotte von Navigationssatelliten unsere Erde – zweimal täglich in einer Höhe von zirka 20'000 Kilometern. Die GPS-Satelliten senden dabei laufend Informationen wie: «Ich befinde mich an Position X und die Uhrzeit ist Y.» Diese Nachricht wird kurze Zeit später vom GPS-Gerät empfangen.
Aus dem Zeitunterschied zwischen Senden und Empfangen der Information berechnet das Navigationsgerät nun den Abstand zum Satelliten. Es benutzt dafür eine einfache Formel: Weg = Geschwindigkeit mal Zeit. Oder genauer: Abstand = Lichtgeschwindigkeit mal Zeitunterschied.
Monika Hager arbeitete während ihres Physikstudiums am Astronomischen Institut in Bern. Derzeit beschäftigt sie sich als Doktorandin am Institut für Theoretische Physik der Uni Bern mit Elementarteilchen-Physik.
Denn auch der Wert für die Geschwindigkeit ist gegeben, da sich die Signale zwischen Satellit und GPS-Empfänger mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Diese beträgt zirka 300'000 Kilometer pro Sekunde.
Lichtgeschwindigkeit und Zeitunterschied sind also gegeben. So kann Ihr Navigationsgerät die Abstände zu den Satelliten berechnen und daraus seine Position bestimmen.
Der Gang der Uhren im Weltraum
Nun gibt es aber ein Problem. Denn spätestens seit Einsteins Spezieller Relativitätstheorie wissen wir: Ort und Zeit sind keine absoluten Grössen, sondern ihr Wert hängt vom sogenannten Bezugssystem des jeweiligen Beobachters ab. In unserem Fall ist das Bezugssystem der Empfängeruhr die Erde und jenes der Satellitenuhr der Satellit.
Würden wir beispielsweise zwei Uhren auf der Erde synchronisieren, dann die eine mit dem Satelliten in die Umlaufbahn bringen und nach einiger Zeit wieder zurück auf die Erde holen, würden wir feststellen, dass auf der Satellitenuhr weniger Zeit verstrichen ist als auf der Uhr, die auf der Erde geblieben ist. Vereinfachend gilt: Bewegte Uhren laufen langsamer.
Auch die Uhren auf den GPS-Satelliten ticken also langsamer als ihre Kolleginnen auf der Erde. Nimmt man die Zeitinformation der Uhren im Weltraum für bare Münze, entsteht so ein Fehler bei der Zeitmessung. Setzt man die falsche Zeit nun in die Formel Abstand = Lichtgeschwindigkeit mal Zeitunterschied ein, dann wird auch der Abstand fehlerhaft berechnet. Die vom Navigationsgerät angegebene Position fällt entsprechend ungenau aus.
Es gibt jedoch noch einen weiteren Effekt, der auf die Uhren im Weltraum einwirkt. Und hier kommt Einsteins zweite Theorie zum Zuge: die Allgemeine Relativitätstheorie.
Beschleunigung und Gravitation wirken gleich
Ein zentrales Element der Allgemeinen Relativitätstheorie ist das sogenannte Äquivalenzprinzip. Es besagt, dass Beschleunigung und Gravitation gleichwertig sind. Unser Körper kennt das Äquivalenzprinzip recht gut, denn Beschleunigung und Schwerkraft fühlen sich ähnlich an.
Wenn wir beispielsweise in einem anfahrenden Zug in Fahrtrichtung laufen, spüren wir den Effekt der Beschleunigung und unser Körper fühlt sich genauso schwer an, wie wenn wir aus einem Schwimmbecken steigen, die Wirkung des Auftriebs nachlässt und wir die Schwerkraft wieder voll spüren.
Wenn also bewegte Uhren langsamer laufen, so gilt das selbstverständlich auch für beschleunigte Uhren: Beschleunigte Uhren laufen langsamer. Gemäss dem Äquivalenzprinzip, dass Gravitation und Beschleunigung gleich sind, kann die Eselsbrücke jetzt umformuliert werden: Uhren in stärkeren Gravitationsfeldern laufen langsamer.
Da die Stärke des Gravitationsfelds mit der Entfernung zur Erde abnimmt, laufen die Uhren auf dem Satelliten somit rascher! Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie sagen also gegenteilige Effekte für den Gang von Uhren auf Satelliten voraus – der Gesamteffekt ist schlicht und einfach die Summe der beiden Effekte.
Ohne Korrektur lägen wir meterweit daneben
Weil der von der Allgemeinen Relativitätstheorie beschriebene Einfluss grösser ist als jener der Speziellen Relativitätstheorie, laufen die Satellitenuhren insgesamt rascher als die Uhren auf der Erde – und zwar um etwa 40 Mikrosekunden (das heisst um 40 Millionstel Sekunden) pro Tag. Dieser Unterschied scheint minim, aber ohne Korrektur würde sich so innert einer Stunde ein Fehler bei der Positionsberechnung in der Grössenordnung von etwa 500 Metern aufsummieren!
Um den relativistischen Effekt zu korrigieren, werden die Uhren von GPS-Satelliten schlicht so geeicht, dass sie genau um diese 40 Mikrosekunden pro Tag langsamer laufen.
Vielleicht fragen Sie sich nun, ob die Uhren, die in Ihrem handelsüblichen Navigationsgerät stecken, nicht selbst ungenau sind. Schliesslich werden dort – im Gegensatz zu den Satelliten – keine hochpräzisen Atomuhren eingesetzt. Das ist aber auch gar nicht nötig. Mithilfe der Signale, die das Navigationsgerät von den verschiedenen Satelliten empfängt, kann es nicht nur seine Position berechnen, sondern auch seine Uhrzeit ständig synchronisieren.
Wenn nicht Einstein, dann wäre es GPS gewesen
Dass die Relativitätstheorien viel zur Genauigkeit der Satellitennavigation beitragen, ist offensichtlich. Umgekehrt kann man die satellitenbasierte Positionsbestimmung aber auch als Experiment sehen, mit dem die Gültigkeit der Relativitätstheorien überprüft werden kann.
Treibt man die Gedankenspielerei auf die Spitze, kann man behaupten: Wären die Relativitätstheorien noch nicht erfunden, so würden sie spätestens heute entdeckt – dann nämlich, wenn man bei der Positionsbestimmung auf unerklärliche Effekte stossen würde.
