Abel hat sein Handwerk bei Johann Sebastian Bach gelernt, den Grossteil seines Lebens aber in London verbracht. Dort hat er gemeinsam mit Bach-Sohn Johann Christian die beliebten «Bach-Abel Concerts» veranstaltet und über Jahre hinweg etliche seiner berühmten, frühromantischen Adagios gespielt.
Leider sind neben seinen leichten Sonaten, die er für seine Schüler komponiert hat, nur wenige erhalten, die er nachweislich selbst gespielt hat. Eine davon ist die Sonate in e-Moll. Jenny Berg vergleicht Aufnahmen dieser Sonate mit der Gambistin Jane Achtman und dem Cellisten Martin Zeller.
